题目内容
【题目】如图，
和
都是等腰直角三角形，
，点P为射线BD，CE的交点．
求证：
；
若
，把绕点A旋转．
当
时，求PB的长；
直接写出旋转过程中线段PB长的最大值与最小值．
【答案】（1）详见解析；（2）①
或
；②PB长的最小值是
，最大值是
．
【解析】
欲证明
，只要证明
≌
即可．
分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，
由
∽
，得
，由此即可解决问题．
b、如图3中，当点E在BA延长线上时，
解法类似．
、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在
下方与相切时，PB的值最小．
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在上方与相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．
证明：如图1中，
和
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在
和中，
，
≌，
．
解：
、如图2中，当点E在AB上时，
．
，
同可证≌．
．
，
∽．
b、如图3中，当点E在BA延长线上时，
．
，
，
同可证≌．
．
，
∽，
，
，
，
综上，或．
、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在下方与相切时，PB的值最小．
理由：此时
最小，因此PB最小，
是直角三角形，斜边BC为定值，最小，因此PB最小
，
，
由可知，≌，
，
，
，
四边形AEPD是矩形，
，
．
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在上方与相切时，PB的值最大．
理由：此时最大，因此PB最大，是直角三角形，斜边BC为定值，最大，因此PB最大
，
，
由可知，≌，
，，
，
四边形AEPD是矩形，
，
．
综上所述，PB长的最小值是，最大值是．
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