已知二次函数y1=x2-(k+2)x+2.y2=x2-kx-2k+2.(1)若二次函数y1=x2-(k+2)x+2与y轴的交点为A.与x轴的交点为B.C.△ABC的面积S=22.求y1的解析式．(2)不论k为何值时.二次函数y2=x2-kx-2k+2的图象都过定点.求这个定点坐标,若经过定点和原点的直线与y2中某个二次函数图象相切时.求这个二次函数y2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知二次函数y₁=x²-（k+2）x+2，y₂=x²-kx-2k+2，
（1）若二次函数y₁=x²-（k+2）x+2与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，△ABC的面积S=2

，求y₁的解析式．
（2）不论k为何值时，二次函数y₂=x²-kx-2k+2的图象都过定点，求这个定点坐标；若经过定点和原点的直线与y₂中某个二次函数图象相切时，求这个二次函数y₂的解析式．
（3）若二次函数y₁=x²-（k+2）x+2与x轴的交点为（x₁，0）、（x₂，0），且x₁＜x₂，二次函数y₂=x²-kx-2k+2与x轴的交点为（x₃，O）、（x₄，0），且x₃＜x₄，当这四个交点相间排列（即x₁＜x₃＜x₂＜x₄或x₃＜x₁＜x₄＜x₂）时，求k的取值范围．

分析：（1）令x=0，求得y_l=2，得出A点坐标，设B（x₁，0）、C（x₂，0）根据S_△ABC=2

，即可求出k₁=2，k₂=-6，则y₁的解析式为y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2；
（2）令k=0，得x=-2，y=6顶点为P（-2，6），或由k（x-2）+y-x²-2=0，得x-2=0，y=x²+2顶点P为（-2，6），经过点P（-2，6）与原点0（0，O）的直线y=-3x，把y₂=-3x代入y₂=x²-kx-2k+2，求出k，则y₂=x²+x+4
（3）由x²-（k+2）x+2=x²-kx-2k+2，得x=k，把x=k代入y=x²-kx-2k+2得y=2-2k，根据已知条件，得2-2k＜0，即可得出k的取值范围．

解答：解：（1）令x=0得），y_l=2
∴A（0，2），设B（x₁，0）、C（x₂，0）
|BC|=

(k+2)2-8

S_△ABC=

|BC|•|OA|=2

，k₁=2，k₂=-6
y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2
∵△₁=8＞O
∴y₁的解析式为y₁=x²-4x+2或y'₁=x²+4x+2

（2）令k=0得y₂=x²+2①
k=l得y₂=x²-x②
解由①②组成的方程组得x=-2y=6满足y₂的表达式、顶点为P（-2，6）
或由k（x-2）+y-x²-2=0
得x-2=0，y=x²+2顶点P为（-2，6）
经过点P（-2，6）与原点0（0，O）的直线y=-3x
把y₂=-3x代入y₂=x²-kx-2k+2得x²+（3-k）x-2k+2=0
△=（3-k）²-4（2-2k）=k²+2k+l=0
∴k=-1，∴y₂=x²+x+4

（3）x²-（k+2）x+2=x²-kx-2k+2得x=k
把x=k代入y=x²-kx-2k+2得y=2-2k
∵y_l、y₂的图象开口向上，开口大小一样且对称轴不同
∴y_l、y₂的图象交点在x轴下方，即y＜0时，满足题设条件
∴2-2k＜0
∴k的取值范围为k＞l．

点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了解析式的确定，顶点坐标的求法，培养学生的综合运用能力，难度较大．