Question

（2012•长春一模）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒

2

个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）求t=1时FC的长度．
（2）求MN=PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．
（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形，可得AP=

2

t，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；
（2）根据MN=PF，可得关于t的方程6-t=2t，解方程即可求解；
（3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤

8

3

时；当

8

3

＜t≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式；
（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．

解答：解：（1）根据题意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．
∵AP=

2

t，OF=EP=t，
∴当t=1时，FC=1；

（2）∵AP=

2

t，AE=t，PF=OE=6-t
MN=QC=2t
∴6-t=2t
解得t=2．
故当t=2时，MN=PF；

（3）当1≤t≤2时，S=2t²-4t+2；
当2＜t≤

8

3

时，S=-

13

2

t²+30t-32；
当

8

3

＜t≤3时，S=-2t²+6t；

（4）建立如图所示的平面直角坐标系．
设经过t秒△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点，即点M在OA上，
当点P在AD的左侧时，设经过t秒△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点，
∵AP=

2

t，∠A=45°，PE⊥AB，
∴PE=t，CQ=2t，
∵MN=CQ，△MNQ是等腰直角三角形，C（2，0）
∴t=2时，△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点；
当点P在AD的右侧时，设经过t秒△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点，
此时，PE=t，6-t=2t-2，解得t=

8

3

，
∴△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或

8

3

．

点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度．