题目内容
如图，在直角坐标系内，O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右端，OA=AB，分别过点A、B作x轴的垂线，与二次函数y=x2的图象交于C、D两点，分别过点C、D作y轴的垂线，交y轴于点E、F，直线CD交y轴于点H．（1）验证：S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9；
（2）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），其他条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由．
（3）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），二次函数改为y=ax2（a＞0），其他条件不变，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的横坐标为yH，试证明：xC•xD=-
| 1 | a |
分析：（1）根据抛物线的解析式分别求出点C，点D的坐标，然后分别求出矩形OACE和矩形OBDF的面积就可以求出结论．
（2）根据点A的坐标及OA=AB就可以用含t的式子表示出B、C、D的坐标，在根据矩形的面积公式就可以分别求出矩形的面积从而求出结论．
（3）根据点A的坐标及OA=AB就可以用含t的式子表示出B、C、D的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出H点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
（2）根据点A的坐标及OA=AB就可以用含t的式子表示出B、C、D的坐标，在根据矩形的面积公式就可以分别求出矩形的面积从而求出结论．
（3）根据点A的坐标及OA=AB就可以用含t的式子表示出B、C、D的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出H点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
解答：解：（1）∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，C（1，1），
∴S矩形OACE=1
∵OA=AB，
∴AB=1，
∴B（2，0），D（2，4）
∴S梯形ECDF=4.5，
∴S矩形OACE：S梯形ECDF=1：4.5=2：9；
（2）（1）的结论仍然成立．
∵当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），
∴S矩形OACE=t3，S梯形ECDF=4.5t3，
∴S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9
（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），
设直线CD的解析式为y=kx+b，则：
，
解得：
，
∴直线CD的函数解析式为y=3atx-2at2，则点H的坐标为（0，-2at2），yH=-2at2．
∵xC•xD=2t2，
∴xC•xD=-
yH．
∴OA=1，C（1，1），
∴S矩形OACE=1
∵OA=AB，
∴AB=1，
∴B（2，0），D（2，4）
∴S梯形ECDF=4.5，
∴S矩形OACE：S梯形ECDF=1：4.5=2：9；
（2）（1）的结论仍然成立．
∵当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），
∴S矩形OACE=t3，S梯形ECDF=4.5t3，
∴S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9
（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），
设直线CD的解析式为y=kx+b，则：
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解得：
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∴直线CD的函数解析式为y=3atx-2at2，则点H的坐标为（0，-2at2），yH=-2at2．
∵xC•xD=2t2，
∴xC•xD=-
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| a |
点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．
练习册系列答案
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