题目内容
（2007•西城区二模）如图，在直角坐标系内有点P（1，1）、点C（1，3）和二次函数y=-x2．（1）若二次函数y=-x2的图象经过平移后以C为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；
（2）若（1）中平移后的抛物线与x轴交于点A、点B（A点在B点的左侧），求cos∠PBO的值；
（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，利用顶点式解析式写出平移后的抛物线解析式即可，根据顶点从坐标原点到点C写出平移方法；
（2）令y=0，求出点A、B的横坐标，过点P作PM⊥x轴于点M，从而求出BM、PM的长度，再根据勾股定理求出PB的长度，最后根据余弦的定义列式求解即可；
（3）存在．根据互相垂直平分的四边形是平行四边形，可以证明当点D为抛物线与y轴的交点时，四边形OPCD正好是平行四边形．
（2）令y=0，求出点A、B的横坐标，过点P作PM⊥x轴于点M，从而求出BM、PM的长度，再根据勾股定理求出PB的长度，最后根据余弦的定义列式求解即可；
（3）存在．根据互相垂直平分的四边形是平行四边形，可以证明当点D为抛物线与y轴的交点时，四边形OPCD正好是平行四边形．
解答：
解：（1）平移后以C为顶点的点抛物线解析式为y=-（x-1）2+3，
所以一种移动方式是将y=-x2向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度；
（2）由（1）知移动后的抛物线解析式为y=-（x-1）2+3=x2+2x+2．
令-x2+2x+2=0，
解出x1=1-
，x2=1+
，
连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M，
∴BM=
，PM=1，
根据勾股定理，PB=
=
=2，
∴cos∠PBO=
=
；
（3）存在这样的点D．
理由如下：欲使OC与PD互相平分，
只要使四边形OPCD为平行四边形，
由题设知，PC∥OD，
又PC=2，PC∥y轴，
∵点D在y轴上，
∴OD=2，
即D（0，2）．
又点D（0，2）在抛物线y=-x2+2x+2上，
故存在点D（0，2），
即OD与PC平行且相等，使线段OC与PD相互平分．
解：（1）平移后以C为顶点的点抛物线解析式为y=-（x-1）2+3，所以一种移动方式是将y=-x2向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度；
（2）由（1）知移动后的抛物线解析式为y=-（x-1）2+3=x2+2x+2．
令-x2+2x+2=0，
解出x1=1-
| 3 |
| 3 |
连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M，
∴BM=
| 3 |
根据勾股定理，PB=
| BM2+PM2 |
|
∴cos∠PBO=
| BM |
| PB |
| ||
| 2 |
（3）存在这样的点D．
理由如下：欲使OC与PD互相平分，
只要使四边形OPCD为平行四边形，
由题设知，PC∥OD，
又PC=2，PC∥y轴，
∵点D在y轴上，
∴OD=2，
即D（0，2）．
又点D（0，2）在抛物线y=-x2+2x+2上，
故存在点D（0，2），
即OD与PC平行且相等，使线段OC与PD相互平分．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，有平移变换的性质，抛物线与y轴的交点问题，勾股定理，余弦的定义，平行四边形的性质，综合性较强但难度不大，计算后利用数据的关系得解比较巧妙．
练习册系列答案
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