Question

（本小题满分8分）
已知抛物线y＝ax²＋bx＋6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=OC，tan∠ACO=，顶点为D．
【小题1】（1）求点A的坐标．
【小题2】（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标.
【小题3】（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【小题4】（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大? 请求出此时S的最大值和点N的坐标．
【小题5】（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为      .

Answer 1

【小题1】解：（1）根据题意，得C（0,6）.
在Rt△AOC中，，OC＝6，
∴OA＝1. ∴A（－1,0）
【小题2】（2）∵，∴OB＝3. ∴B（3,0）.
由题意，得  解得
∴.
∴D（1,8）.   ……………………………………………………………………2分
可求得直线CD的解析式为.
∴E（－3,0）.
【小题3】（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，
则F₁（2,6），F₂（－2,6），F₃（－4,－6）.
经验证，只有点（2,6）在抛物线上，
∴F（2,6）
【小题4】（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，设N（m, ）.
当x＝2时，y＝6，∴M（2,6）.
可求得直线AM的解析式为.
∴Q（m，2m＋2）.
∴NQ＝.
∵，其中，
∴当最大时，值最大.
∵
,
,
.
∴当时，的最大值为.
∴的最大值为.……………………………………………………………………6分
当时，. 
∴N（，）.  
【小题5】（5）P₁（1，），P₂（1，）. …………………………………………8分
说明：写成P₁（1，），P₂（1，）不扣分解析:
略