题目内容
【题目】如图，把长方形纸片
放入平面直角坐标系中，使
分别落在
轴的的正半轴上，连接
，且
，
．
（1）求点
的坐标；
（2）将纸片折叠，使点
与点
重合（折痕为
），求折叠后纸片重叠部分
的面积；
（3）求所在直线的函数表达式，并求出对角线与折痕交点
的坐标．
【答案】（1）A（8，0），C（0，4）；（2）10；（3）y=2x-6，（4，2）
【解析】
（1）设OC=a，则OA=2a，在直角△AOC中，利用勾股定理即可求得a的值，则A和C的坐标即可求得；
（2）重叠部分是△CEF，利用勾股定理求得AE的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）根据（1）求得AC的表达式，再由（2）求得E、F的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF的函数解析式，联立可得点D坐标.
解：（1）∵
，
∴设OC=a，则OA=2a，
又∵
，即a2+（2a）2=80，
解得：a=4，
则A的坐标是（8，0），C的坐标是（0，4）；
（2）设AE=x，则OE=8-x，如图，
由折叠的性质可得：AE=CE=x，
∵C的坐标是（0，4），
∴OC=4，
在直角△OCE中，42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴CF=AE=5，
则重叠部分
的面积是：
×5×4=10；
（3）设直线EF的解析式是y=mx+n，
由（2）可知OE=3，CF=5，
∴E（3，0），F（5，4），
∴
，
解得：
，
∴直线EF的解析式为y=2x-6，
∵A（8，0），C（0，4），
设AC的解析式是：y=px+q，
代入得：
，
解得
，
∴AC的解析式是：
，
联立EF和AC的解析式：
，
解得：
，
∴点D的坐标为（4，2）.
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