题目内容

【题目】(12分)如图,已知抛物线)的顶点坐标为(4),且与y轴交于点C02),与x轴交于AB两点(点A在点B的左边).

1)求抛物线的解析式及AB两点的坐标;

2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小,若存在,求AP+CP的最小值;若不存在,请说明理由;

3)在以AB为直径的⊙M中,CE⊙M相切于点ECEx轴于点D,求直线CE的解析式.

【答案】1A20B60);(2)存在, ;(3

【解析】试题分析:(1)利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标;

2)线段BC的长即为AP+CP的最小值;

3)连接ME,根据CE⊙M的切线得到ME⊥CE∠CEM=90°,从而证得△COD≌△MED,设OD=x,在RT△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标,然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可.

试题解析:(1)由题意,设抛物线的解析式为),抛物线经过(02),,解得: ,即: ,当时, ,解得: A20),B60);

2)存在,如图2,由(1)知:抛物线的对称轴lx=4,因为AB两点关于l对称,连接CBl于点P,则AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小.B60),C02),OB=6OC=2BC=AP+CP=BC=AP+CP的最小值为

3)如图3,连接MECEM的切线,MECECEM=90°C的坐标(02),OC=2AB=4ME=2OC=ME=2∵∠ODC=MDE,在CODMED中,∵∠COD=MEDODC=EDMOC=ME∴△COD≌△MEDAAS),OD=DEDC=DM,设OD=x,则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x,则RtCOD中, 2D0),设直线CE的解析式为),直线CEC02),D0)两点,则,解得: 直线CE的解析式为

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