题目内容
如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=
| 5 |
| 2 |
| CD |
| AB |
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n |
分析：（1）由已知得
=
，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用
=
求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=
BC，而GF=
CD，EF=
AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；
当AE=
AD（n＞2）时，EG=BG=
BC，而GF=
CD，EF=
AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．
| CK |
| BK |
| 2 |
| 5 |
| CD |
| AB |
| CK |
| BK |
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当AE=
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
解答：
解：（1）∵BK=
KC，
∴
=
，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴
=
=
（2）当BE平分∠ABC，AE=
AD时，AB=BC+CD；
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=
BC，而GF=
CD，EF=
AB，
∵EF=EG+GF，
即：
AB=
BC+
CD；
∴AB=BC+CD；
同理，当AE=
AD（n＞2）时，EF∥AB，
同理可得：
=
=
，则BG=
•BC，则EG=BG=
•BC，
=
=
，则GF=
•CD，
=
=
，
∴
•BC+
•CD=
•AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故当AE=
AD（n＞2）时，BC+CD=（n-1）AB．
解：（1）∵BK=| 5 |
| 2 |
∴
| CK |
| BK |
| 2 |
| 5 |
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴
| CD |
| AB |
| CK |
| BK |
| 2 |
| 5 |
（2）当BE平分∠ABC，AE=
| 1 |
| 2 |
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵EF=EG+GF，
即：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AB=BC+CD；
同理，当AE=
| 1 |
| n |
同理可得：
| BG |
| BC |
| AE |
| AD |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| GF |
| CD |
| BG |
| BC |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| EF |
| AB |
| ED |
| AD |
| n-1 |
| n |
∴
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
∴BC+CD=（n-1）AB，
故当AE=
| 1 |
| n |
点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知线段AB=10cm，点C是AB上任一点，点M、N分别是AC和CB的中点，则MN的长度为（ ）
| A、6cm | B、5cm | C、4cm | D、3cm |
如图，已知线段AB和CD相交于点O，线段OA=OD，OC=OB，求证：△OAC≌△ODB．
如图，已知线段AB，延长AB至C，使得BC=| 1 |
| 2 |
| A、4cm | B、8cm |
| C、10cm | D、12cm |