题目内容
【题目】如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm,现有两个动点P,Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动,两点到达终点后停止运动。过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ,设动点运动的时间为ts(t>0)。
(1) 连结DP,经过1s后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗? 请说明理由;
(2) 当t为何值时,△EDQ为直角三角形?
(3) 如图②,设点M是EQ的中点,在点P、Q的整个运动过程中,试探究点M的运动路径长度是多少?
【答案】(1)能.四边形EQDP是平行四边形. (2)当t为2.5或3.1时,△EDQ为直角三角形(3)点M的运动路径长度是cm
【解析】试题分析:(1)如图1,当t=1时,AP=1,BQ=1.25,QD=0.75.由PE∥DC,得到EP=0.75,从而有EP=QD,再由EP∥QD,即可得到结论;
(2)分∠EQP=90°,∠QED=90°两种情况,通过三角形相似,列出比例关系,求出t的值即可;
(3)作AB的中点M,DC的中点M′,连接MM′,则M运动的路径就是线段MM′.过M作MG⊥BC于G.可以证明MG是△ABC的中位线,得到MG=2,BG=GC=2.5.再由M′是DC的中点,得到M′C=1.5,进而得到GM′=2.5-1.5=1,在Rt△MGM′中,由勾股定理即可得出MM′的长.
试题解析:解:(1)能.理由如下:
如图1,当t=1时,AP=1,BQ=1.25,QD=2-1.25=0.75.∵PE∥DC,∴ ,∴,∴EP=0.75,∴EP=QD.∵EP∥QD,∴四边形EQDP是平行四边形.
(2)分两种情况讨论:
①如图3,当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4﹣t.又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC,
∴.∵BC=5厘米,CD=3厘米,∴BD=2厘米,∴DQ=1.25t﹣2,∴ ,解得t=2.5(秒);
②如图4,当∠QED=90°时,作EM⊥BC于M,CN⊥AD于N,则四边形EMCP是矩形,EM=PC=4﹣t.在Rt△ACD中,∵AC=4厘米,CD=3厘米,∴AD==5,∴CN==.∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°,∴△EDQ∽△CDA,∴,∴,解得t=3.1(秒).
综上所述:当t=2.5秒或t=3.1秒时,△EDQ为直角三角形.
(3)作AB的中点M,DC的中点M′,连接MM′,则M运动的路径就是线段MM′.过M作MG⊥BC于G.∵M是AB的中点,∴G是BC的中点,∴MG是△ABC的中位线,∴MG=AC=2,BG=GC=2.5.∵M′是DC的中点,∴M′C=DC=1.5,∴GM′=2.5-1.5=1,∴MM′===(cm).