题目内容

【题目】如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cmBC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm,现有两个动点P,Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动,两点到达终点后停止运动。过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ,设动点运动的时间为ts(t>0)

(1) 连结DP,经过1s后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗? 请说明理由;

(2) 当t为何值时,△EDQ为直角三角形?

(3) 如图②,设点M是EQ的中点,在点P、Q的整个运动过程中,试探究点M的运动路径长度是多少?

【答案】(1)能.四边形EQDP是平行四边形. (2)当t为2.5或3.1时,△EDQ为直角三角形(3)点M的运动路径长度是cm

【解析】试题分析:(1)如图1t=1时,AP=1BQ=1.25QD=0.75.由PEDC,得到EP=0.75,从而有EP=QD,再由EPQD,即可得到结论;

2)分EQP=90°QED=90°两种情况,通过三角形相似,列出比例关系,求出t的值即可

3AB的中点MDC的中点M连接MM′,则M运动的路径就是线段MMMMGBCG可以证明MG是△ABC的中位线,得到MG=2BG=GC=2.5再由M′是DC的中点,得到MC=1.5,进而得到GM′=2.51.5=1,在Rt△MGM′中,由勾股定理即可得出MM′的长

试题解析:解:(1)能理由如下

如图1t=1时,AP=1BQ=1.25QD=2-1.25=0.75PEDC EP=0.75EP=QDEPQD∴四边形EQDP是平行四边形

2)分两种情况讨论:

如图3,当EQD=90°时,显然有EQ=PC=4﹣tEQAC∴△EDQ∽△ADC

.BC=5厘米,CD=3厘米,BD=2厘米,DQ=1.25t2 ,解得t=2.5(秒);

如图4,当QED=90°时,作EMBCMCNADN,则四边形EMCP是矩形,EM=PC=4tRtACD中,AC=4厘米,CD=3厘米,AD==5CN==.∵∠CDA=EDQQED=C=90°∴△EDQ∽△CDA,解得t=3.1(秒).

综上所述t=2.5秒或t=3.1秒时,EDQ为直角三角形.

3)作AB的中点MDC的中点M连接MM′,则M运动的路径就是线段MMMMGBCGMAB的中点,∴GBC的中点,∴MG是△ABC的中位线,∴MG=AC=2BG=GC=2.5M′是DC的中点,∴MC=DC=1.5GM′=2.51.5=1MM′===cm).

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