Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，对角线AC⊥AB，∠B=60°，M、N分别是边AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．

Answer 1

分析：根据题意可得出BC的长，再由AD∥BC，AB=DC得∠DAC=∠ACD，即得AD=CD=8，根据梯形的中位线定理可得出MN的长．

解答：解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，由∠B=60°，得∠BCA=30°．              …（1分）
又∵AB=8，∴BC=2AB=16．                             …（1分）
∵AD∥BC，AB=DC，∴∠BCD=∠B=60°．
即得∠ACD=∠ACB=30°．                              …（1分）
又由AD∥BC，得∠DAC=∠ACB=30°．                     …（1分）
∴∠DAC=∠ACD，即得  AD=CD=8．                       …（1分）
∵M、N分别是边AB、DC的中点，
∴MN是梯形ABCD的中位线．                              …（1分）
即得  MN=

1

2

(AD+BC)=

1

2

(8+16)=12．              …（1分）

点评：本题考查了梯形的中位线定理以及含30度角的直角三角形，是基础知识要熟练掌握．