题目内容

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;
(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.
(1)当x=0时,y=-2,
∴A(0,-2),
抛物线的对称轴为直线x=-
-2m
2m
=1,
∴B(1,0);

(2)易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′(2,-2),
则直线l经过A′、B,
设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),
2k+b=-2
k+b=0

解得
k=-2
b=2

所以,直线l的解析式为y=-2x+2;

(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线在2<x<3这一段与在-1<x<0这一段关于对称轴对称,
结合图象可以观察到抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,在-1<x<0这一段位于直线l的下方,
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1,
当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4,
所以,抛物线过点(-1,4),
当x=-1时,m+2m-2=4,
解得m=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.
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