Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

Answer 1

（1）当x=0时，y=-2，
∴A（0，-2），
抛物线的对称轴为直线x=-

-2m

2m

=1，
∴B（1，0）；

（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2），
则直线l经过A′、B，
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

2k+b=-2 k+b=0

，
解得

k=-2 b=2

，
所以，直线l的解析式为y=-2x+2；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，
当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，
所以，抛物线过点（-1，4），
当x=-1时，m+2m-2=4，
解得m=2，
∴抛物线的解析式为y=2x²-4x-2．