Question

（1）如图1，已知△ABC与△DBC的面积相等，试判断直线AD与BC的位置关系并加以证明．
判断：

 

；
（2）如图2，点A、B在反比例函数y=

k

x

(k＞0)的图象上，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，连接CD．利用（1）中的结论，证明：AB∥CD．
（3）若（2）中的其他条件不变，只改变A、B的位置如图3所示，请画出示意图，判断AB与CD是否平行，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）分别过点A，D，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足为G，H，∵△ABC与△DBC同底，而两个三角形的面积相等，因而AG=DH，可以证明四边形AGHD为平行四边形，∴AD∥BC．
（2）判断AB与CD是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S_△CAD=S_△BCD即可．

解答：
证明：（1）分别过点A，D，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，
∴AG∥DH
∵△ABC与△BDC的面积相等，
∴AG=DH，
∴四边形AGHD为平行四边形，
∴AD∥BC；

（2）连接BC，AD．
设点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂），
∵点A，B在反比例函数 y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，
∴OC=y₁，OD=x₂，AC=x₁，
∴S_△BCD=

1

2

x₂•y₂=

1

2

k，
S_△ACD=

1

2

x₁•y₁=

1

2

k，
∴S_△ACD=S_△BCD；
∴由（1）同样的方法得出AB∥CD

（3）由（1）中的结论可知：AB∥CD．
证明：连接BC，AD．
设点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂），
∵点A，B在反比例函数 y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，
∴OC=y₁，BD=|y₂|，OD=|x₂|，AC=x₁，
∴S_△ABC=

1

2

x₁•（|y₂|+y₁）=

1

2

k+

1

2

x₁•|y₂|，
S_△ABD=

1

2

（x₁+|x₂|）．y₂=

1

2

k+

1

2

x₁y₂，
∴S_△ABC=S_△ABD；
∴由（1）同样的证明方法得出AB∥CD．

点评：此题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决（1）中的证明是解决本题的关键．