题目内容

如图，矩形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD²+3DE²是定值．

证明：（1）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）设AD=b，CD=a，AC=c，
过E作EM⊥AD于M，
∵EM⊥AD，∠ADC=90°，
∴EM∥CD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EM= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ a，DM= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ b，
由勾股定理得：DE²=EM²+DM²= $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ b²，CD²=AC²-AD²=c²-b²，
∴CD²+3DE²=c²-b²+ $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ b²=c²+ $\text{[math]}$ （a²+b²）=c²+ $\text{[math]}$ c²= $\text{[math]}$ AC²，
∴CD²+3DE²是定值．
分析：（1）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质和已知推出OE=OF，OB=OD，即可求出答案；
（2）设AD=b，CD=a，AC=c，过E作EM⊥AD于M，根据平行线分线段成比例定理求出EM= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ a，DM= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ b，根据勾股定理求出即可．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．