题目内容
如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-
x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，DE=
，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
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（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，DE=
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（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=
；
若直线经过点B（3，1）时，则b=
；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
，
此时E（2b，0）
∴S=
OE•CO=
×2b×1=b；
②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
＜b＜
，
此时E（3，b-
），D（2b-2，1），
∴S=S矩-（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3-[
（2b-2）×1+
×（5-2b）•（
-b）+
×3（b-
）]
=
b-b2，
综上所述，S=
；
（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12，
∴a=
，
∴S四边形DNEM=NE•DH=
．
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
．
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=
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若直线经过点B（3，1）时，则b=
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若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
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此时E（2b，0）
∴S=
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②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
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此时E（3，b-
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∴S=S矩-（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
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综上所述，S=
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（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12，
∴a=
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∴S四边形DNEM=NE•DH=
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∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
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练习册系列答案
同步练习河南大学出版社系列答案
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