Question

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-

1

2

x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，DE=

5

，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=

3

2

；
若直线经过点B（3，1）时，则b=

5

2

；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

3

2

，
此时E（2b，0）
∴S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b；
②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

3

2

＜b＜

5

2

，
此时E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
综上所述，S=

b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

；

（2）如图3，设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

5

4

，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=

5

4

．
∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

5

4

．