题目内容

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．
（1）若点P的坐标为（1，2），将线段OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OQ，则点Q的坐标为______．
（2）若过点P的直线L₁的函数解析式为y=2x，求过点P且与直线L₁垂直的直线L₂的函数解析式；
（3）若直线L₁的函数解析式为y=x+4，直线L₂的函数解析式为y=-x-2，求证：直线L₁与直线L₂互相垂直；
（4）设直线L₁的函数关系式为y=k₁x+b₁，直线L₂的函数关系式为y=k₂x+b₂（k₁•k₂≠0）．根据以上的解题结论，请你用一句话来总结概括：直线L₁和直线L₂互相垂直与k₁、k₂的关系．
（5）请运用（4）中的结论来解决下面的问题：
在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，-6），点B的坐标为（7，2），求线段AB的垂直平分线的函数解析式．

解：（1）由坐标转换可知，Q（-2，1）．

（2）直线L₁：y=2x，即tanα=2，设直线L₂的函数解析式为y=kx+b，即tanβ=k，
又两直线垂直，tan（β-α）=[tanβ-tanα]/[1+tanα tanβ]，所以tana tanb=-1，即2k=-1，
即k= $\text{[math]}$ ，
又因为直线L₂过点P， $\text{[math]}$ ，
得b= $\text{[math]}$ ，
故直线L₂的函数解析式为： $\text{[math]}$ ．

（3）设直线L₁、直线L₂与x轴的夹角分别为a，b，即tana=1，tanb=-1，
代入tan（b-a）=[tanb-tana]/[1+tana tanb]，可知1+tana tanb=0；即tan（b-a）无意义，
即两直线夹角为90°，即证直线L₁与直线L₂互相垂直；

（4）直线L₁和直线L₂互相垂直，k₁×k₂=-1．

（5）设线段AB的垂直平分线的函数解析式为y=kx+b．
由（4）可知 $\text{[math]}$ ，即k=- $\text{[math]}$ ，又过AB的中点（2，-2），代入函数式，可得b= $\text{[math]}$ ，即线段AB的垂直平分线的函数解析式为y= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由坐标转换可知，逆时针旋转90°，坐标互换，纵坐标变号．
（2）过点P的直线L₁的函数解析式为y=2x，与x轴成α角，即tanα=2，与直线L₁垂直的直线L₂的函数解析式为y=kx+b，即tanβ=k，又两直线垂直，故其夹角为90°，即tan（β-α）=[tanβ-tanα]/[1+tanα tanβ]=0．且P（1，2），代入方程，即可得出．
（3）设两函数与x轴的夹角分别为a，b，即tana=1，tanb=-1，代入tan（b-a）=[tanb-tana]/[1+tana tanb]即可．
（4）直线L₁和直线L₂互相垂直，k₁×k₂=-1．
（5）由两点式可知两点所在直线的斜率，根据（4）的结论以及A、B的中点坐标即可得出函数解析式．
点评：本题着重考查了学生对直线互相垂直时两斜率之积为-1的证明，要求学生对此类题熟练掌握．