题目内容
已知:如图,在正方形ABCD中,AC与BD相交于O,点H在AB的延长线上,AH=AC,AG⊥CH,垂足为G,AG交BD于E,交BC于F.
求证:(1)CG=
AF;(2)OE=
CF.
求证:(1)CG=
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考点:正方形的性质,全等三角形的判定与性质
专题:证明题
分析:(1)根据正方形的性质和已知条件证明△ABF≌△CBH,所以可得到AF=CH,进而证明CG=
AF;
(2)取CF的中点P,连接OP,利用正方形的性质和已知条件证明OE=FP即可.
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(2)取CF的中点P,连接OP,利用正方形的性质和已知条件证明OE=FP即可.
解答:证明:(1)∵AH=AC,AG⊥CH,
∴CG=
CH,∠BAF=90°-∠H.
∵在正方形ABCD中,∠HAC=∠ABC=90°,
∴∠BCF=90°-∠H.
∴∠BAF=∠BCG.
又∵AB=BC,
∴△ABF≌△CBH.
∴AF=CH.
∴CG=
AF.
(2)取CF的中点P,连接OP,
在正方形ABCD中,∠ABO=∠ACO=
×90°=45°.
∵AH=AC,AG⊥CH,
∴∠BAE=∠FAC,
∵∠BEF=∠ABE+∠BAF,∠BFE=∠FCA+∠FAC,
∴∠BEF=∠BFE.
∵AO=OC,
∴OP∥AF,
∴∠BOP=∠BEF,∠BPO=∠BFE.
∴∠BOP=∠BPO.
∴OE=FP,
∴OE=
CF.
∴CG=
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∵在正方形ABCD中,∠HAC=∠ABC=90°,
∴∠BCF=90°-∠H.
∴∠BAF=∠BCG.
又∵AB=BC,
∴△ABF≌△CBH.
∴AF=CH.
∴CG=
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(2)取CF的中点P,连接OP,
在正方形ABCD中,∠ABO=∠ACO=
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∵AH=AC,AG⊥CH,
∴∠BAE=∠FAC,
∵∠BEF=∠ABE+∠BAF,∠BFE=∠FCA+∠FAC,
∴∠BEF=∠BFE.
∵AO=OC,
∴OP∥AF,
∴∠BOP=∠BEF,∠BPO=∠BFE.
∴∠BOP=∠BPO.
∴OE=FP,
∴OE=
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点评:本题考查了正方形的性质的运用,等腰三角形判定及性质的运用,全等三角形的判定与性质的运用,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用.
练习册系列答案
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