Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝ ，求AB和FC的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ，

【解析】（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；

（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.

⑴证明：连结OC

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∴∠B+∠BAC=90°

∵OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∵∠B=∠FCA

∴∠FCA+∠OCA=90°

即∠OCF=90°

∵C在⊙O上

∴CF是⊙O的切线

⑵∵AE=4，tan∠ACD

∴CE=8

∵直径AB⊥弦CD于点E

∴

∵∠FCA＝∠B

∴∠B=∠ACD=∠FCA

∴∠EOC=∠ECA

∴tan∠B=tan∠ACD=

∴BE=16

∴AB=20

∴OE=AB÷2-AE=6

∵CE⊥AB

∴∠CEO=∠FCE=90°

∴△OCE∽△CFE

∴

即

∴