Question

【题目】如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF=AD；
（2）若CA=CB，∠ACB=90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CF∥AB，

∴∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，

∵E为CD的中点，

∴CE=DE，

在△ECF和△EDA中，

，

∴△ECF≌△EDA（AAS），

∴CF=AD

（2）解：四边形CDBF为正方形，理由如下：

∵CD是AB边上的中线，

∴AD=BD，

∵CF=AD，

∴CF=BD；

∵CF=BD，CF∥BD，

∴四边形CDBF为平行四边形，

∵CA=CB，CD为AB边上的中线，

∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，

∴四边形CDBF为矩形，

∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线，

∴CD= AB=BD，

∴四边形CDBF为正方形

【解析】（1）由平行线的性质得出内错角相等∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，再根据AAS证明△ECF≌△EDA，得出对应边相等即可；（2）先证明四边形CDBF为平行四边形，再由∠BDC=90°得出四边形CDBF为矩形，然后证出CD=BD，即可得出结论．