题目内容
证明题:
如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
求证:AC=EF.
如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
求证:AC=EF.
分析:先根据Rt△ABC中∠BAC=30°可知∠ABC=60°,BC=
AB,再由△ABE是等边三角形可知∠EAF=60°,由EF⊥AB可知AF=BF=
AB,即AF=BC,根据全等三角形的判定定理可知Rt△ABC≌Rt△EAF,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.
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解答:证明:∵Rt△ABC中∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,BC=
AB,
∵△ABE是等边三角形,
∴∠EAF=60°,
∵EF⊥AB,
∴AF=BF=
AB,即AF=BC,
在Rt△ABC与Rt△EAF中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△EAF,
∴AC=EF.
∴∠ABC=60°,BC=
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∵△ABE是等边三角形,
∴∠EAF=60°,
∵EF⊥AB,
∴AF=BF=
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在Rt△ABC与Rt△EAF中,
∵
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∴Rt△ABC≌Rt△EAF,
∴AC=EF.
点评:本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质及全等三角形的判定定理,熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
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