题目内容
【题目】在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．
【答案】(1) AG⊥DG，AG=DG;(2) AG⊥DG，AG=DG，证明详见解析；（3）DG=AGtan
.
【解析】
试题分析：（1）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可求得AG⊥GD，AG=GD；
（2）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等边三角形，即可证得AG⊥GD，AG=
DG；
（3）延长DG与BC交于H，连接AH、AD，通过证得△BGH≌△EGD求得BH=ED，HG=DG，得出BH=DC，然后证得△ABH≌△ACD，得出∠BAH=∠CAD，AH=AD，进而求得△HAD是等腰三角形，即可证得DG=AGtan．
试题解析：（1）AG⊥DG，AG=DG，
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BC的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠DCB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ABH=∠ACD=45°，
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∵∠BAH+∠HAC=90°，
∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°，
∴AG⊥GD，AG=GD；
（2）AG⊥GD，AG=DG；
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BC的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60°，
∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠ACD=60°，
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=60°；
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，
∴tan∠DAG=tan30°=
，
∴AG=DG．
（3）DG=AGtan；
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BC的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，
∴∠ABC=90°﹣，∠ACD=90°﹣，
∴∠ABC=∠ACD，
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=α；
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=，
∴tan∠DAG=tan=
，
∴DG=AGtan．
