题目内容
【题目】如图,已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)已知点B是EF的中点,求证:△EAF∽△CBA.
(3)已知AF=4,CF=2,在(2)的条件下,求AE的长.
【答案】
(1)
证明:如图1,连接CD,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADB+∠EDC=90°,
∵∠BAC=∠EDC,∠EAB=∠ADB,
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°,
∴EA是⊙O的切线.
(2)
证明:如图2,连接BC,
由(1)知,∠EAF=∠EAC=90°,
∵B是EF的中点,
∴在Rt△EAF中,AB=BF(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),
∴∠BAC=∠AFE,
∴△EAF∽△CBA.
(3)
解:∵△EAF∽△CBA,
∴ ,
∵AF=4,CF=2.
∴AC=6,EF=2AB,
∴ ,解得AB=2 .
∴EF=4 ,
在Rt△AEF中,由勾股定理得,AE= =4
【解析】(1)连接CD,由AC是⊙O的直径,可得出∠ADC=90°,由角的关系可得出∠EAC=90°,即得出EA是⊙O的切线,(2)连接BC,由AC是⊙O的直径,可得出∠ABC=90°,由在Rt△EAF中,B是EF的中点,可得出∠BAC=∠AFE,即可得出△EAF∽△CBA,(3))由△EAF∽△CBA,可得出 ,由比例式可求出AB,由勾股定理得出AE的长.
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