题目内容
已知：关于x的一元二次方程x2+2（2-m）x+3-6m=0．（1）求证：x无论为任何实数，方程总有实数根；
（2）抛物线y=x2+2（2-m）x+3-6m与x轴交于A、B两点，A在原点左侧，B在原点右侧，且OA=3OB，请确定抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿x轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新的抛物线，请结合函数图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m的取值范围．
【答案】分析：（1）要想证明x无论为任何实数，方程总有实数根，△≥0即可证明；
（2）先解方程，得出两个解，再根据OA与OB的关系求出m值，即可求出抛物线的解析式；
（3）观察两个抛物线的图象，便可知道当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．
解答：
解：（1）证明：△=[2（2-m）]2-4（3-6m）
=4（m+1）2（1分）
m为任何实数时，（m+1）2≥0，4（m+1）2≥0．
即：△≥0（2分）
x无论为任何实数，方程总有实数根．
（2）解：由题意得，x2+2（2-m）x+3-6m=0，
解得x1=-3，x2=2m-1（3分）
A（-3，0），B（2m-1，0）
∵OA=3OB，
∴3=3（2m-1）
解得，m=1，y=x2+2x-3；
（3）解：由图象可知，两个图象交于（0，-3）
当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．（7分）
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和方程有实数根的证明知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
（2）先解方程，得出两个解，再根据OA与OB的关系求出m值，即可求出抛物线的解析式；
（3）观察两个抛物线的图象，便可知道当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．
解答：
解：（1）证明：△=[2（2-m）]2-4（3-6m）=4（m+1）2（1分）
m为任何实数时，（m+1）2≥0，4（m+1）2≥0．
即：△≥0（2分）
x无论为任何实数，方程总有实数根．
（2）解：由题意得，x2+2（2-m）x+3-6m=0，
解得x1=-3，x2=2m-1（3分）
A（-3，0），B（2m-1，0）
∵OA=3OB，
∴3=3（2m-1）
解得，m=1，y=x2+2x-3；
（3）解：由图象可知，两个图象交于（0，-3）
当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．（7分）
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和方程有实数根的证明知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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