题目内容
（2012•德化县一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=4，⊙O的半径为3，求BD的值．
分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质求出∠OCB=∠OBC，根据AB是直径得出∠ABC=90°，求出∠A+∠ABC=90°，代入求出∠OCB+∠BCD=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△DCB∽△DAC，得出CD2=BD×DA，代入即可求出BD．
（2）证△DCB∽△DAC，得出CD2=BD×DA，代入即可求出BD．
解答：（1）证明：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴
=
，即CD2=AD•BD
又∵CD=4，AO=OB=3，
∴16=（BD+6）BD，
解得：BD=2．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴
| CD |
| DA |
| BD |
| DC |
又∵CD=4，AO=OB=3，
∴16=（BD+6）BD，
解得：BD=2．
点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
练习册系列答案
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于点E，过点E作EG⊥y轴于G，过点C作CF⊥y轴于F，连接DE．
（2012•德化县一模）友情提示：请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况．如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过90分；如果你全卷总分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分．