Question

如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，其中

CD

、

DE

、

EF

、…的圆心依次为A、B、C…．当渐开线延伸开时，形成三个扇形S₁、S₂、S₃和一系列扇环S₄、S₅、…若正△ABC的边长为1．
（1）求出曲线CDEFG的总长度．
（2）求出扇环S₄的面积．

Answer 1

分析：（1）曲线CDEFG的总长度是4段弧的长度，圆心角都是120°，半径分别为1，2，3，4，据弧长公式计算即可；
（2）扇环S₄的面积是两个扇形的面积的差．

解答：解：（1）∵正△ABC的边长为1．
∴BD=2，CE=3，AF=4，
∴曲线CDEFG的总长度

120π×(1+2+3+4)

180

=

20π

3

；

（2）S₄=

120π×42

360

-

120π×12

360

=5π．

点评：本题考查了弧长的计算、扇形面积的计算以及等边三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．