Question

【题目】如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，连接OC，

∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，

∵BC∥OP，

∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，

∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，

∴∠AOP=∠COP，

在△PAO和△PCO中，

，

∴△PAO≌△PCO，

∴∠PCO=∠PAO=90°，

∴PC是⊙O的切线；

（2）

解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，

∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，

∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，

∴∠PAD=∠AOD，

∴△ADP∽△ODA，

∴，

∴AD2=PDDO，

∵AC=8，PD=，

∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，

由题意知OD为△的中位线，

∴BC=6，OD=6，AB=10．

∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；

（3）

解：如图2，

连接AE、BE，作BM⊥CE于M，

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，

∵点E是的中点，

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，

CM=MB=3，

BE=ABcos45°=5，

∴EM==4，

则CE=CM+EM=7．

【解析】（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；
（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC求出答案；
（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．
此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，割补法求阴影部分面积，勾股定理的应用.