题目内容

新定义:若x0=ax02+bx0+c成立,则称点(x0,x0)为抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物线C的解析式为:y=ax2+(b+1)x+(b -1)(a≠0).

(1)抛物线C过点(0,-3);如果把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上,求抛物线C的解析式及其上的不动点;

(2)对于任意实数b,实数a应在什么范围内,才能使抛物线C上总有两个不同的不动点?                                           

(3)设a为整数,且满足a+b+1=0,若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x1, x2,是否存在整数k,使得成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)y=x2-x-3,(-1,-1)和(3,3);(2)0<a<1;(3)-1或-2.

【解析】

试题分析:(1)根据抛物线C过点(0,-3),把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上,即可得到关于a、b的方程组,从而求得结果;

(2)由抛物线C有两个不同点可得△>0,即b2-4a(b-1)>0,b2-4ab+4a>0,再结合b为任意实数,且使得上式成立,可得(-4a)2-4×1×4a<0,整理得a2-a<0,即可求得结果;

(3)由a+b+1=0得b=-a-1,代入抛物线C得y=ax2-ax-(a+2),根据x1与x2是抛物线C与x轴的交点横坐标可得△=a2+4a(a+2)>0,即可求得字母a的范围,再结合根与系数的关系求解即可.

(1)由题意得,解之得 

∴抛物线为y=x2-x-3

令x=x2-x-3,解之得x1=-1,x2=3  

∴不动点为(-1,-1)和(3,3);

(2)∵抛物线C有两个不同的不动点,

∴x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)=0

∵抛物线C有两个不同点, 

∴△>0,即b2-4a(b-1)>0,b2-4ab+4a>0

∵b为任意实数,且使得上式成立,

∴(-4a)2-4×1×4a<0,整理得a2-a<0,

从而得,解之得0<a<1   

∴实数a应在0<a<1;

(3)由a+b+1=0得b=-a-1,代入抛物线C得y=ax2-ax-(a+2)

∵x1与x2是抛物线C与x轴的交点横坐标  

∴△=a2+4a(a+2)>0,解得a>0或a<

由根与系数的关系,得,x1+x2="1," x1·x2= ,

∴k=3+=3+=( a>0或a<,且a为整数)

要使k为整数,取a= -4、-3、-1、0,其中a= -1、0不合题意,舍去;

∴存在, .

考点:二次函数的综合性

点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.

 

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