题目内容

有一个定理:若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为系数且为常数)的两个实数根,则x1+x2=-
b
a
、x1•x2=
c
a
,这个定理叫做韦达定理. 如:x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个实数根,则x1+x2=-2、x1•x2=-1. 若x1,x2是方程2x2+(m-1)x-
1
2
m=0
的两个实根.试求:
(1)x1+x2与x1•x2的值(用含有m的代数式表示);
(2)
x
2
1
+
x
2
2
的值(用含有m的代数式表示);
(3)若(x1-x2)2=1,试求m的值.
分析:(1)由x1,x2是方程2x2+(m-1)x-
1
2
m=0的两个实根,根据根与系数的关系可得x1+x2=-
m-1
2
,x1•x2=
-
1
2
m
2
=-
m
4

(2)由x12+x22=(x1+x22-2x1•x2,将(1)代入即可求得答案;
(3)由(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2,将(1)代入即可得方程:
(m+1)2
4
=1,继而求得m的值.
解答:解:(1)∵x1,x2是方程2x2+(m-1)x-
1
2
m=0的两个实根,
∴x1+x2=-
m-1
2
,x1•x2=
-
1
2
m
2
=-
m
4


(2)x12+x22=(x1+x22-2x1•x2=(-
m-1
2
2-2×(-
m
4
)=
m2+1
4


(3)∵(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2=(-
m-1
2
2-4×(-
m
4
)=
(m+1)2
4
=1,
解得:m1=1,m2=-3,
当m=1时,原方程为:2x2-
1
2
=0,△=4>0,符合题意;
当m=-3时,原方程为:2x2-4x+
3
2
=0,△=4>0,符合题意;
∴m的值为1或-3.
点评:此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式.此题难度较大,注意掌握若二次项系数不为1,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
知识的应用.
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