题目内容
【题目】根据要求回答问题:
(1)已知:等边△ABC的边长为4,点P在线段AB上,点D在线段AC上,且△PDE为等边三角形,当点P与点B重合时(如图1),AD+AE的值为;
(2)[类比探究]在上面的问题中,如果把点P沿BA方向移动,使PB=1,其余条件不变(如图2),AD+AE的值是多少?请写出你的计算过程;
(3)[拓展迁移]如图3,△ABC中,AB=BC,∠ABC=a,点P在线段BA延长线上,点D在线段CA延长线上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=a,设AP=m,则线段AD、AE有怎样的等量关系?请用含m,a的式子直接写出你的结论.
【答案】
(1)4
(2)解:AD+AE=3
理由:如图2中,作PK∥BC交AC于K.连接AE.
易证△PAK是等边三角形,
由上面题目可知.AE+AD=AK=3
(3)解:如图3中,作PJ⊥AD于J,在AD上取一点K,使得PK=PA.
易证∠APK=∠DPE=α,
∵PD=PE,PK=PA,
∴∠DPK=∠EPA,
∴△PDK≌△PEA,
∴DK=AE,
∴AD﹣AE=AK=2AJ=2msin .
∴AD﹣AE=2msin
【解析】(1)解:如图1中,
∵△PDE.△PAC都是等边三角形,
∴PE=PD,PA=PC,∠EPD=∠APC=60°,
∴∠EPA=∠DPC,
∴△EPA≌△DPC,
∴AE=CD,
∴AD+AE=AD+DC=AC=4.
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质的相关知识点,需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题.
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