题目内容
【题目】如图，抛物线
与
轴交于点
，与
轴交于
，
两点（点在轴正半轴上），
为等腰直角三角形，且面积为
，现将抛物线沿
方向平移，平移后的抛物线过点时，与轴的另一点为
，其顶点为
，对称轴与轴的交点为
．
求
、
的值．
连接
，试判断
是否为等腰三角形，并说明理由．
现将一足够大的三角板的直角顶点
放在射线
或射线
上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点
，是否存在这样的点，使以点、、为顶点的三角形与
全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
，
；
是等腰三角形，理由见解析；
存在，
点的坐标为
或
或
或
或
，使
，，
三点为顶点的三角形与
全等．
【解析】
(1)先求出A（0,c），则OA=c，再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c，再由三角形面积公式得
=4，计算得出c=2，把C（2，0）代入
即可求出a的值；
(2)如图1，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2，设F（t，t+2），利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为
，把C（2，0）代入解得：t=6，则平移后的抛物线解析式为
，所以F（6，8），利用勾股定理计算出OF=10,由抛物线与x轴的交点问题确定E（10，0），则OE=OF=10，因此可判断△OEF为等腰三角形；
(3)分类讨论：当点Q在射线HF上，点P在x轴上方时，如图2，利用三角形全等的判定方法，当EQ=EO=10时，△EQP≌△EOP，则可根据勾股定理计算出QH=
，于是得Q点的坐标为（6，）；当点Q在射线HF上，点P在x轴下方时，如图3，有PQ=OE=10，利用三角形相似的判定方法，△PKQ∽△QHK，计算出QH的值，得到Q点的坐标为（6，3）；
当点Q在射线AF上，当PQ=OE=10时，如图4，有QE=PO，得出Q点的坐标为（10，12）；当点Q在射线AF上，当EQ=EO=10时，设Q（m，m+2），利用两点间的距离公式得到关于m的方程为：
，解方程求出m的值，即可得到Q点的坐标．
∵抛物线
与
轴交于点
，
∴
，则
，
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，解得
，
∴
，
把代入得
，解得；
是等腰三角形．理由如下：如图
，
设直线
的解析式为
，
把
、
代入得
，解得
，
则直线的解析式为
，
设
，
∵抛物线
沿
方向平移，平移后的抛物线过点
时，顶点为
，
∴平移后的抛物线解析式为
，
把代入得
，解得
，
∴平移后的抛物线解析式为
，
∴
，
∴
，
令
，
，解得
，
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰三角形；
存在．点的位置分两种情形．
情形一：点在射线
上，
当点在
轴上方时，如图
，
∵
，
，
∴当
时，
，
而
，
∴
，
此时点坐标为；
当点在轴下方时，如图
，有
，过点作
于点
，则有
，
在
中，
，
∵
，∴
，
∵
，
∴
，
∴
，∴
，解得
，
∴
．
情形二、点在射线
上，
当时，如图
，有
，
∴四边形
为矩形，∴的横坐标为
，
当
时，
，∴
．
当
时，如图
，
过作
轴于点
，过点作轴的垂线交
于点
．
设的坐标为为
，∴
，
，
，
在
中，有
，即
，解得
，
当
时，如图，
，∴
，
当
时，如图，
，∴
，
综上所述，点的坐标为或或或或，使，，三点为顶点的三角形与全等．
