Question

【题目】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；

（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；

（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

【答案】（1）1600，2000；（2）有7种，当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元；（3）当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当k=50时，每种进货方案的总利润都一样．

【解析】

（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；

（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，表示出总利润y=﹣50x+15000，根据题意得：求出x的取值范围，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；

（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．

解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据题意得：

，解得：x=1600，

经检验，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，

答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．

（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，

则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：

，解得：，

∵x为正整数，∴x=34，35，36，37，38，39，40，

∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；

∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，

∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），

答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．

（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，

则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，

当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，

∵，

∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；

当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，

∵，

∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；

答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．