题目内容
【题目】抛物线y=﹣x2平移后的位置如图所示,点A,B坐标分别为(﹣1,0)、(3,0),设平移后的抛物线与y轴交于点C,其顶点为D.
(1)求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)∠ACB和∠ABD是否相等?请证明你的结论;
(3)点P在平移后的抛物线的对称轴上,且△CDP与△ABC相似,求点P的坐标.
【答案】
(1)
解:∵将抛物线y=﹣x2平移,平移后的抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),
∴平移后的抛物线的表达式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3,即y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(2)
解:∠ACB与∠ABD相等,理由如下:
如图,
∵y=﹣x2+2x+3,
∴点x=0时,y=3,即C点坐标为(0,3),
又∵B(3,0),∠BOC=90°,
∴OB=OC,∠OBC=∠OCB=45°.
在△BCD中,∵BC2=32+32=18,CD2=12+12=2,BD2=22+42=20,
∴BC2+CD2=BD2,
∴∠BCD=90°,
∴tan∠CBD= ,
∵在△AOC中,∠AOC=90°,
∴tan∠ACO= =
,
∴tan∠ACO=tan∠CBD,
∴∠ACO=∠CBD,
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,
即∠ACB=∠ABD;
(3)
解:
∵点P在平移后的抛物线的对称轴上,而y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1,
∴可设P点的坐标为(1,n).
∵△ABC是锐角三角形,
∴当△CDP与△ABC相似时,△CDP也是锐角三角形,
∴n<4,即点P只能在点D的下方,
又∵∠CDP=∠ABC=45°,
∴D与B是对应点,分两种情况:
① 如果△CDP∽△ABC,那么 ,
即 ,
解得n= ,
∴P点的坐标为(1, );
② 如果△CDP∽△CBA,那么 ,
即 ,
解得n= ,
∴P点的坐标为(1, ).
综上可知P点的坐标为(1, )或(1,
).
【解析】(1)根据平移不改变二次项系数a的值,且平移后的抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0),可知平移后抛物线的表达式为y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3,再运用配方法化为顶点式,即可求出顶点D的坐标;(2)先由B、C两点的坐标,得出∠OBC=∠OCB=45°,再根据勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,则由正切函数的定义求出tan∠CBD= ,在△AOC中,由正切函数的定义也求出tan∠ACO=
,得出∠ACO=∠CBD,则∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACB=∠ABD;(3)设P点的坐标为(1,n),先由相似三角形的形状相同,得出△CDP是锐角三角形,则n<4,再根据∠CDP=∠ABC=45°,得到D与B是对应点,所以分两种情况进行讨论:①△CDP∽△ABC;
②△CDP∽△CBA.根据相似三角形对应边的比相等列出关于n的方程,解方程即可.
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