Question

将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A₁，A₂，…，A_n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（　　）

• A、

  1

  4

  cm²
• B、

  n

  4

  cm²
• C、

  n-1

  4

  cm²
• D、(

  1

  4

  )ncm²

Answer 1

分析：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45°的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积，再根据规律即可求得n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和．

解答：解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45°的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积等于正方形面积的

1

4

，即是

1

4

．
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为

1

4

×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为

1

4

×（n-1）=

n-1

4

cm²．
故选C．

点评：解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．