Question

【题目】若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．

（2）若三点均在函数y=（为常数，）的图象上，且这三点的纵坐标构成“和谐三数组”，求实数的值；

（3）若直线与轴交于点，与抛物线交于两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）不可以（2）t=-4，-2或2（3）且OP≠1

【解析】

试题分析：（1）根据“和谐三组数”的意义直接判断即可；

（2）分别表示出M、N、R的坐标，然后根据“和谐三组数”求出t的值；

（3）①令y=2bx+2c=0表示出x1，然后联立方程组得到，然后由韦达定理表示出x2、x3的关系，从而判断；

②由已知求出OP表达式，然后根据表达式求范围.

试题解析：（1）由已知1＜2＜3

∴

又∵1≠

∴1,2,3不可以构成“和谐三组数”

（2）M（t，），N（t+1，），R（t+3，）

，，组成“和谐三组数”

①若=+，得t=-4

②若，得t=-2

③若，得t=2

综上，t=-4，-2或2

（3）①令y=2bx+2c=0

∴x1=-

联立

∴

∴由韦达定理可得

∴

∴构成“和谐三组数”

②∵x2=1

∴a+b+c=0

∴c=-a-b

∴OP==

∵a＞2b＞3c

∴-＜b＜

∴-＜＜

令t=，p=2=

∵-＜t＜且t≠-1或0

∴＜p＜且p≠1

∴且OP≠1