Question

【题目】直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（ ）
A.2 ﹣2
B.3﹣2
C.
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：在△MOC和△NOA中， ，
∴△MOC≌△NOA，
∴∠CMO=∠ANO，
∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，
∴∠NCP+∠CNP=90°，
∴∠MPN=90°
∴MP⊥NP，
在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，

∴P在以MN为直径的圆上，
∵M（﹣4，0），N（0，4），
∴圆心G为（﹣2，2），半径为2 ，
∵PG﹣GC≤PC，
∴当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，PC最小，
∵GN=GM，CN=CO=2，
∴GC= OM=2，
这个最小值为GP﹣GC=2 ﹣2．
故选A．
首先证明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN为直径的圆上，所以当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，P到C（0，2）的最小值．求出此时的PC即可．