Question

【题目】如图所示，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，∠COB＝60°，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）若CE＝，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2.

【解析】

（1）由点D是弧AC的中点，连接OC，可得圆心角等，再利用已知，∠COB=60°，可得∠AOD和∠COD均为60°，从而△AOD和△COD均为等边三角形，

进一步推出OC∥AE，然后利用已知CE⊥AD，可得∠OCE=90°，从而CE为⊙O的切线．

（2）利用△AOD和△COD均为等边三角形，推出∠ECD等于30°，在直角三角形ECD中，已知CE=，利用三角函数可以求出CD，从而求得半径．

（1）证明：连接OD，如图，

∵点D是弧AC的中点，

∴∠AOD＝∠COD＝

又∵∠COB＝60°，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∵OA＝OD，

∴△AOD为等边三角形，

∴∠A＝∠COB＝60°，

∴OC∥AE，

∴∠OCE+∠E＝180°

∵CE⊥AD，

∴∠E＝90°，

∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE，

∵OC为⊙O的半径，

∴CE为⊙O的切线，

（2）由（1）知△AOD和△COD均为等边三角形，CE＝，

∴OC＝CD，∠OCD＝60°，

∴∠ECD＝90°﹣60°＝30°，

∴cos∠ECD＝，

∴CD＝2，即⊙O的半径为2．