题目内容
(2012•舟山)如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF,给出以下五个结论:
①
=
;②∠ADF=∠CDB;③点F是GE的中点;④AF=
AB;⑤S△ABC=5S△BDF,
其中正确结论的序号是
①
AG |
AB |
FG |
FB |
| ||
3 |
其中正确结论的序号是
①②④
①②④
.分析:由△AFG∽△BFC,可确定结论①正确;
由△ABG≌△BCD,△AFG≌△AFD,可确定结论②正确;
由△AFG≌△AFD可得FG=FD>FE,所以点F不是GE中点,可确定结论③错误;
由△AFG≌△AFD可得AG=
AB=
BC,进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点,可确定结论④正确;
因为F为AC的三等分点,所以S△ABF=
S△ABC,又S△BDF=
S△ABF,所以S△ABC=6S△BDF,由此确定结论⑤错误.
由△ABG≌△BCD,△AFG≌△AFD,可确定结论②正确;
由△AFG≌△AFD可得FG=FD>FE,所以点F不是GE中点,可确定结论③错误;
由△AFG≌△AFD可得AG=
1 |
2 |
1 |
2 |
因为F为AC的三等分点,所以S△ABF=
1 |
3 |
1 |
2 |
解答:解:依题意可得BC∥AG,
∴△AFG∽△BFC,∴
=
,
又AB=BC,∴
=
.
故结论①正确;
如右图,∵∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4.
在△ABG与△BCD中,
,
∴△ABG≌△BCD(ASA),
∴AG=BD,又BD=AD,∴AG=AD;
在△AFG与△AFD中,
,
∴△AFG≌△AFD(SAS),∴∠5=∠2,
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°,∴∠5=∠1,
∴∠1=∠2,即∠ADF=∠CDB.
故结论②正确;
∵△AFG≌△AFD,∴FG=FD,又△FDE为直角三角形,∴FD>FE,
∴FG>FE,即点F不是线段GE的中点.
故结论③错误;
∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=
AB;
∵△AFG≌△AFD,∴AG=AD=
AB=
BC;
∵△AFG∽△BFC,∴
=
,∴FC=2AF,
∴AF=
AC=
AB.
故结论④正确;
∵AF=
AC,∴S△ABF=
S△ABC;又D为中点,∴S△BDF=
S△ABF,
∴S△BDF=
S△ABC,即S△ABC=6S△BDF.
故结论⑤错误.
综上所述,结论①②④正确,
故答案为:①②④.
∴△AFG∽△BFC,∴
AG |
BC |
FG |
FB |
又AB=BC,∴
AG |
AB |
FG |
FB |
故结论①正确;
如右图,∵∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4.
在△ABG与△BCD中,
|
∴△ABG≌△BCD(ASA),
∴AG=BD,又BD=AD,∴AG=AD;
在△AFG与△AFD中,
|
∴△AFG≌△AFD(SAS),∴∠5=∠2,
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°,∴∠5=∠1,
∴∠1=∠2,即∠ADF=∠CDB.
故结论②正确;
∵△AFG≌△AFD,∴FG=FD,又△FDE为直角三角形,∴FD>FE,
∴FG>FE,即点F不是线段GE的中点.
故结论③错误;
∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=
2 |
∵△AFG≌△AFD,∴AG=AD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵△AFG∽△BFC,∴
AG |
BC |
AF |
FC |
∴AF=
1 |
3 |
| ||
3 |
故结论④正确;
∵AF=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
∴S△BDF=
1 |
6 |
故结论⑤错误.
综上所述,结论①②④正确,
故答案为:①②④.
点评:本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用,有一定的难度.对每一个结论,需要仔细分析,严格论证;注意各结论之间并非彼此孤立,而是往往存在逻辑关联关系,需要善加利用.
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