Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．

（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．

（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠CDE=2∠A．

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO ．再由△AOE∽△ACB，得到OE的长；

（2）连结OC，得到∠1=∠A，再证∠3=∠CDE，从而得到结论．

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===，∴AO=AB= ．∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴OE===.

（2）∠CDE=2∠A．理由如下：

连结OC，∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE．∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．