题目内容

(2)如图2,已知AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
求证:四边形AEDF是菱形.
分析:(1)根据垂径定理得到CE=
CD=4,在Rt△OCE中,OC=
AB=5,CE=4,利用勾股定理可计算出OE,然后用OA-OE即可得到AE;
(2)根据角平分线定义得到∠1=∠2,由DE∥AC,DF∥AB,则四边形ACDE为平行四边形,且∠1=∠4,∠2=∠4,于是∠1=∠3,则ED=EA,根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得到结论.
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(2)根据角平分线定义得到∠1=∠2,由DE∥AC,DF∥AB,则四边形ACDE为平行四边形,且∠1=∠4,∠2=∠4,于是∠1=∠3,则ED=EA,根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得到结论.
解答:(1)解:∵弦CD⊥AB,
∴CE=
CD=4,∠CEO=90°,
在Rt△OCE中,OC=
AB=5,CE=4,
∴OE=
=3,
∴AE=OA-OE=5-3=2;
(2)证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2,
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形ACDE为平行四边形,且∠1=∠4,∠2=∠4,
∴∠1=∠3,
∴ED=EA,
∴四边形AEDF是菱形.

∴CE=
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在Rt△OCE中,OC=
1 |
2 |
∴OE=
OC2-CE2 |
∴AE=OA-OE=5-3=2;
(2)证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2,
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形ACDE为平行四边形,且∠1=∠4,∠2=∠4,
∴∠1=∠3,
∴ED=EA,
∴四边形AEDF是菱形.
点评:本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理以及菱形的判定.

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