Question

（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若AB=10，CD=8，求AE的长．
（2）如图2，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理得到CE=

1

2

CD=4，在Rt△OCE中，OC=

1

2

AB=5，CE=4，利用勾股定理可计算出OE，然后用OA-OE即可得到AE；
（2）根据角平分线定义得到∠1=∠2，由DE∥AC，DF∥AB，则四边形ACDE为平行四边形，且∠1=∠4，∠2=∠4，于是∠1=∠3，则ED=EA，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得到结论．

解答：（1）解：∵弦CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD=4，∠CEO=90°，
在Rt△OCE中，OC=

1

2

AB=5，CE=4，
∴OE=

OC2-CE2

=3，
∴AE=OA-OE=5-3=2；

（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形ACDE为平行四边形，且∠1=∠4，∠2=∠4，
∴∠1=∠3，
∴ED=EA，
∴四边形AEDF是菱形．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及菱形的判定．