Question

如图，以AB为直径的⊙O与直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，AC=8cm，BD=2cm，求四边形ACDB的面积．

Answer 1

分析：连接OE，BF，根据切线性质推出OE⊥DC，推出OE是梯形ABDC的中位线，求出OE，即可求出AB，推出四边形BFCD是矩形，得出DC=BF，BD=CF=2，求出AF=6cm，由勾股定理求出BF=8cm，根据梯形面积公式求出即可．

解答：解：连接OE，BF，
∵DC切⊙O于E，
∴OE⊥DC，
∵BD⊥DC，AC⊥DC，
∴BD∥OE∥AC，
∵AO=BO，
∴DE=CE，
即OE是梯形ABDC的中位线，
∴OE=

1

2

（BD+AC）=5cm，
∴AB=2OE=10cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵BD⊥DC，AC⊥DC，
∴∠D=∠C=∠BFC=90°，
∴四边形BFCD是矩形，
∴DC=BF，BD=CF=2，
∴AF=AC-CF=6cm，
在Rt△AFB中，AB=10cm，AF=6cm，由勾股定理得：BF=8cm，
即DC=8cm，
故四边形ACDB的面积是

1

2

×（BD+AC）×CD
=

1

2

×（2+8）×8
=40cm²．

点评：本题考查了梯形的性质和判定，矩形的性质和判定，切线的性质，圆周角定理，勾股定理，梯形的中位线等知识点的综合运用．