Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．

（1）求证：D为BC的中点；

（2）过点O作OF⊥AC，于F，若AF=，BC=2，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为4．

【解析】

试题（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可证得；

（2）先根据垂径定理，求得AE=2AF=；再运用圆周角定理的推论得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，从而可证得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根据此关系列方程求解即可得⊙O的直径．

试题解析：（1）连接AD

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴点D是BC的中点；

（2）∵OF⊥AC于F，AF=，

∴AE=2AF=，

连接BE，

∵AB为直径 D、E在圆上，

∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，

∴在△BEC、△ADC中，

∠BEC=∠ADC，∠C=∠C，

∴△BEC∽△ADC，

即CD：CE=AC：BC，

∵D为BC中点，

∴CD=BC，

又∵AC=AB，

∴BC2=CEAB，

设AB=x，可得 x（x﹣）=2，解得x1=﹣（舍去），x2=4，

∴⊙O的直径为4.