题目内容
【题目】如图：抛物线y=ax2＋bx＋c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC＋OD，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P（x,y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围,并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？
【答案】（1）抛物线解析式为y=－
(x－2)2＋6；（2）S=－
x2＋4x，0＜x＜2＋2
；当x=4时，S有最大值为8.
【解析】（1）∵OC=4，OD=2，∴ DM=6，
∴ 点M（2，6）
设y=a（x－2）2＋6，代入（0，4）得：a=－
，
∴该抛物线解析式为y=－ （x－2）2＋6．
（2）设点P（x，－ （x－2）2＋6），即（x，－ x2＋2x＋4），过点P做x轴的垂线，交直线CD于点F，设直线CD为y=kx＋4，代入（2，0）得k=－2，即y=－2x＋4，
∴点F（x，－2x＋4）．
∴PF=－x2＋2x＋4－（－2x＋4）=－x2＋4x．
∴S=·2·（－x2＋4x）=－x2＋4x．
令y=a（x－2）2＋6=0，解得x 1=2＋2
，x 2=2－2（舍去）
∴0＜x＜2＋2．
∵S=－x2＋4x=－
（x－4）2＋8，∴当x=4时，S有最大值为8．
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