Question

解答题
①已知x=0是关于x的方程（m-1）x²+7mx+m²+3m-4=0的根，求m的值．
②在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF=

1

2

AB；
（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．

Answer 1

分析：①把x=0代入方程得出方程m²+3m-4=0，求出m即可；
②（1）连接BE，根据三线合一得出BE⊥AC，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（2）分为解法一和二，都是想法推出证△ABE和△AGE全等的三个条件．

解答：①解：∵x=0是关于x的方程（m-1）x²+7mx+m²+3m-4=0的根，
∴把x=0代入方程得：m²+3m-4=0，
解得：m=1、m=-4；

②证明：（1）连接BE，
∵DB=BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠AEB=90°，
∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，
∴EF=

1

2

AB；

（2）证明：解法一∵在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，
∴BE=EG，
∵由（1）知：BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AEG=90°
∵在△ABE和△AGE中，

AE=AE ∠AEB=∠AEG BE=EG

，
∴△ABE≌△AGE；

解法二：∵由（1）得，EF=AF，
∴∠AEF=∠FAE，
∵EF∥AG，
∴∠AEF=∠EAG，
∴∠EAF=∠EAG．
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE．

点评：本题考查了解一元二次方程，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，主要培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．