Question

在如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：2AE²=AC•AP；
（3）若AE=8cm，△ABF的面积为9cm²，求△ABF的周长．

Answer 1

解：（1）连接EF交AC于O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF．
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，
由作法，∠AEP=90°，
由（1）知：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴，则AE²=AO•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴，
∴．
∴2AE²=AC•AP．

（3）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=8．
设AB=x，BF=y，
∵∠B=90，即三角形ABC为直角三角形，
∴x²+y²=64，
∴（x+y）²-2xy=64①，
又∵S_△ABF=9，∴，则xy=18②，
由①、②得：（x+y）²=100，
∴x+y=10，x+y=-10（不合题意舍去），
∴△ABF的周长为x+y+AF=10+8=18．
分析：（1）连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再利用矩形的性质求证
△AOE≌△COF，即可．
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，由作法，∠AEP=90°，求证△AOE∽△AEP，可得，再利用四边形AFCE是菱形，可得，．即可．
（3）根据四边形AFCE是菱形，可得AF=AE=8．设AB=x，BF=y，可得（x+y）²-2xy=64①再根据三角形面积公式可得xy=18．②然后解方程即可．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，有一定的拔高难度，属于难题．