Question

如图（1）是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放一起（C与C′重合）的图形．

（1）若将图（1）中的△C′DE，绕点C顺时针旋转任意一个角度α，连接AD、BE，如图（2），此时，线段BE与AD之间具有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（2）根据上述操作过程，请你猜想：当α为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠BCE=∠ACD，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AD；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边可得AC+CD＞AD，从而判定当A、C、D三点共线时AD的长度最大，最大值等于两个等边三角形的边长的和．

解答：（1）答：BE=AD．
证明如下：∵△ABD和△C′DE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∵在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；

（2）解：根据三角形的三边关系，AC+CD＞AD，
所以，当A、C、D三点共线时AD的长度最大，
最大值=AC+CD=a+b，
此时旋转角α=180°．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，（1）求出三角形全等的条件∠BCE=∠ACD是解题关键；（2）根据三角形的三边关系判断出AD最大时的位置是解题的关键．