题目内容

【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为直径,过点B的切线与AC的延长线交于点D,E是BD中点,连接CE.

(1)求证:CE是⊙O的切线;

(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的长.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】

试题分析:(1)连接OC,根据弦切角定理和切线的性质可得CBE=A,ABD=90°,根据圆周角定理可得ACB=90°,即可得ACO+BCO=90°BCD=90°,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE,根据等腰三角形的性质可得BCE=CBE=A,即可证出ACO=BCE,所以BCE+BCO=90°,即CEOC,所以CE是O的切线;(2)由勾股定理求出AB的长,再由三角函数得出tanA==,求出BD=AB=,即可得出CE的长.

试题解析:(1)证明:连接OC,如图所示:

BD是O的切线,

∴∠CBE=A,ABD=90°

AB是O的直径,

∴∠ACB=90°

∴∠ACO+BCO=90°BCD=90°

E是BD中点,

CE=BD=BE,

∴∠BCE=CBE=A,

OA=OC,

∴∠ACO=A,

∴∠ACO=BCE,

∴∠BCE+BCO=90°

OCE=90°,CEOC,

CE是O的切线;

(2)解:∵∠ACB=90°

AB=

tanA==

BD=AB=

CE=BD=

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