题目内容
【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为直径,过点B的切线与AC的延长线交于点D,E是BD中点,连接CE.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接OC,根据弦切角定理和切线的性质可得∠CBE=∠A,∠ABD=90°,根据圆周角定理可得∠ACB=90°,即可得∠ACO+∠BCO=90°,∠BCD=90°,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE,根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠CBE=∠A,即可证出∠ACO=∠BCE,所以∠BCE+∠BCO=90°,即CE⊥OC,所以CE是⊙O的切线;(2)由勾股定理求出AB的长,再由三角函数得出tanA==,求出BD=AB=,即可得出CE的长.
试题解析:(1)证明:连接OC,如图所示:
∵BD是⊙O的切线,
∴∠CBE=∠A,∠ABD=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,∠BCD=90°,
∵E是BD中点,
∴CE=BD=BE,
∴∠BCE=∠CBE=∠A,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A,
∴∠ACO=∠BCE,
∴∠BCE+∠BCO=90°,
即∠OCE=90°,CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切线;
(2)解:∵∠ACB=90°,
∴AB=,
∵tanA==,
∴BD=AB=,
∴CE=BD=.
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