Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB。
（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；
（2）若AC=，求证：△ACD∽△OCB。

Answer 1

解：（1）连接OA ， ∵OA=OB=OD， ∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°， ∴∠DAB= ∠DAO+∠BAO=48°， 由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°； （2）过O作OE⊥AB于E， 由垂径定理得：AE=BE， ∵在Rt △OEB中，OB=4，∠OBC=30°， ∴OE= OB=2， 由勾股定理得：BE=2=AE ， 即AB=2AE=4， ∵AC=2， ∴BC=2， 即C、E两点重合， ∴DC⊥AB， ∴∠DCA= ∠OCB=90°， ∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2 ，AC=BC=2， ∴=， ∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）。