题目内容

【题目】如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线(a0)经过点B.

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;

(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.

①写出点M′的坐标;

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即BAC的度数).

【答案】(1);(2)S=当m=时,S取得最大值;(3)M′(45°.

【解析】

试题分析:(1)利用直线l的解析式求出B点坐标,再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值;

(2)设M的坐标为(m,),然后根据面积关系将ABM的面积进行转化;

(3)①由(2)可知m=,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值;

②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值.

试题解析:(1)令x=0代入y=﹣3x+3,y=3,B(0,3),把B(0,3)代入3=a+4,a=﹣1,二次函数解析式为:

(2)令y=0代入x=﹣1或3,抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3,M在抛物线上,且在第一象限内,0m3,令y=0代入y=﹣3x+3,x=1,A的坐标为(1,0),由题意知:M的坐标为(m,),S=S四边形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB=×m×3+×1×)﹣×1×3=S==当m=时,S取得最大值

(3)①由(2)可知:M′的坐标为();

②过点M′作直线l1l′,过点B作BFl1于点F,根据题意知:d1+d2=BF,此时只要求出BF的最大值即可,∵∠BFM′=90°,点F在以BM′为直径的圆上,设直线AM′与该圆相交于点H,点C在线段BM′上,F在优弧上,当F与M′重合时,BF可取得最大值,此时BM′l1A(1,0),B(0,3),M′(),由勾股定理可求得:AB=,M′B=,M′A=,过点M′作M′GAB于点G,设BG=x,由勾股定理可得:x=,cosM′BG==l1l′,∴∠BCA=90°,BAC=45°

方法二:过B点作BD垂直于l′于D点,过M点作ME垂直于l′于E点,则BD=d1,ME=d2S△ABM=×AC×(d1+d2当d1+d2取得最大值时,AC应该取得最小值,当ACBM时取得最小值.

根据B(0,3)和M′()可得BM′=S△ABM=×AC×BM′=AC=,当ACBM′时,cosBAC===∴∠BAC=45°.

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