题目内容
【题目】如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.
①写出点M′的坐标;
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数).
【答案】(1);(2)S=,当m=时,S取得最大值;(3)①M′(,);②45°.
【解析】
试题分析:(1)利用直线l的解析式求出B点坐标,再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值;
(2)设M的坐标为(m,),然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化;
(3)①由(2)可知m=,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值;
②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值.
试题解析:(1)令x=0代入y=﹣3x+3,∴y=3,∴B(0,3),把B(0,3)代入,∴3=a+4,∴a=﹣1,∴二次函数解析式为:;
(2)令y=0代入,∴,∴x=﹣1或3,∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3,∵M在抛物线上,且在第一象限内,∴0<m<3,令y=0代入y=﹣3x+3,∴x=1,∴A的坐标为(1,0),由题意知:M的坐标为(m,),S=S四边形OAMB﹣S△AOB
=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB=×m×3+×1×()﹣×1×3=,∵S==,∴当m=时,S取得最大值.
(3)①由(2)可知:M′的坐标为(,);
②过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F,根据题意知:d1+d2=BF,此时只要求出BF的最大值即可,∵∠BFM′=90°,∴点F在以BM′为直径的圆上,设直线AM′与该圆相交于点H,∵点C在线段BM′上,∴F在优弧上,∴当F与M′重合时,BF可取得最大值,此时BM′⊥l1,∵A(1,0),B(0,3),M′(,),∴由勾股定理可求得:AB=,M′B=,M′A=,过点M′作M′G⊥AB于点G,设BG=x,∴由勾股定理可得:,∴,∴x=,cos∠M′BG==,∵l1∥l′,∴∠BCA=90°,∠BAC=45°;
方法二:过B点作BD垂直于l′于D点,过M点作ME垂直于l′于E点,则BD=d1,ME=d2,∵S△ABM=×AC×(d1+d2),当d1+d2取得最大值时,AC应该取得最小值,当AC⊥BM时取得最小值.
根据B(0,3)和M′(,)可得BM′=,∵S△ABM=×AC×BM′=,∴AC=,当AC⊥BM′时,cos∠BAC===,∴∠BAC=45°.