Question

正△ABC的边长为1，P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中Q、R、S为垂足，若SP=

1

4

，则AP的长是（　　）

• A、

  2

  9

• B、

  5

  9

• C、

  1

  9

• D、

  5

  9

  或

  1

  9

Answer 1

分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出BP=2BQ，设BQ=x则PB=2x，QC=1-x，RS=

1

2

（1-x），AP=1-

1

2

（1-x）=

1

2

（1+x），AS=

1

4

（1+x），当S在AP上时，根据AS+PS+BP=1，代入求出x即可；当P在AS之间时，同理可求出x．

解答：解：∵等边三角形ABC，
∴∠B=60°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB=90°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
同理CQ=2CR，AR=2AS，
设BQ=x则PB=2x，QC=1-x，RS=

1

2

（1-x），AP=1-

1

2

（1-x）=

1

2

（1+x），AS=

1

4

（1+x），
当S在AP上时，2x+

1

4

+

1

4

（1+x）=1，x=

2

9

，
AP=1-

4

9

=

5

9

；
当P在AS之间时，同理可求出AP=

1

9

．
故选D．

点评：本题主要考查对等边三角形性质，含30度角的之间三角形，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出BP=2BQ、CQ=2CR、AR=2AS是解此题的关键．