Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（3）存在，点Q（3，2）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）令抛物线关系式中的x＝0或y＝0，分别求出y、x的值，进而求出与x轴，y轴的交点坐标；

（2）用m表示出点Q，M的纵坐标，进而表示QM的长，使CD＝QM，即可求出m的值；

（3）分三种情况进行解答，即①∠MBQ＝90°，②∠MQB＝90°，③∠QMB＝90°分别画出相应图形进行解答．

解：（1）抛物线y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，因此点C（0,2），

当y＝0时，即：﹣x2+x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此点A（﹣1,0），B（4,0），

故：A（﹣1,0），B（4,0），C（0,2）；

（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴点D（0,﹣2），CD＝4，

设直线BD的关系式为y＝kx+b，把D（0,﹣2），B（4,0）代入得，

，解得，k＝，b＝﹣2，

∴直线BD的关系式为y＝x﹣2

设M（m,m﹣2），Q（m,﹣m2+m+2），

∴QM＝﹣m2+m+2﹣m+2）＝﹣m2+m+4，

当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形；

∴﹣m2+m+4＝4，

解得m1＝0（舍去），m2＝2，

答：m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，因此OB＝2OD，

①若∠MBQ＝90°时，如图1所示，

当△QBM∽△BOD时，QP＝2PB，

设点P的横坐标为x，则QP＝﹣x2+x+2，PB＝4﹣x，

于是﹣x2+x+2＝2（4﹣x），

解得，x1＝3，x2＝4（舍去），

当x＝3时，PB＝4﹣3＝1，

∴PQ＝2PB＝2，

∴点Q的坐标为（3，2）；

②若∠MQB＝90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，

∴Q（﹣1，0）；

③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°，这种情况不存在△QBM∽△BOD．

综上所述，点P在线段AB上运动过程中，存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，

点Q（3，2）或（﹣1，0）．